菜花\大自然与分形

在我知道“分形理论”之前的日子里，菜花不过是一种美味而营养的蔬菜。如今，我每次见到菜花都会有点瞬间走神——没错，我又是愣在那里感叹分形理论的绝妙巧思，感叹自然世界的极致美感。

　　分形理论，于1975年由美籍著名学者曼德勃罗创立，是现代数学的一个新分支。“分形”的一大特点是“自相似性”，而对于并非数学专业的普通人来说，最直观的理解方式莫过于观察植物。比如说随处可见，又可进行动手实验的菜花，就是非常好的理解对象。当你把菜花买回家中，它是一整颗，结结实实，白白脆脆，但下锅之前，你一定会将其掰成一小朵一小朵。此时，自相似结构就显露出来，那“一小朵”与“一整颗”是多么相似啊，除了大小不同，几乎是彼此的翻版。若你将整颗菜花与一小朵菜花放在没有参照物的背景中分别拍摄两张照片，估计还真难分出谁是“老大”。

　　自然界中的分形结构非常多见，比如人脑皮层、毛细血管分布、树木枝干生长、叶子脉络等等结构，因此分形理论也被誉为大自然的几何学。对于分形理论的开创性意义，美国著名物理学家惠勒还有惊人之语：“今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。”

　　发现“碎片”中的规律

　　1973年，曼德勃罗在法兰西学院的课堂上，首次提出了分维和分形几何的设想。但分形(Fractal)一词的产生却是在两年之后的一个夏日夜晚。那天，夜色如水，这般寂静时刻是最适合冥思苦想的，曼德勃罗任思绪漫延，并随手翻动他儿子的拉丁文字典，突然想到用Fractal概括他的最新理论。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere(破碎)。此外与英文的fraction(碎片)及fragment(碎片)拥有相同的词根。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中一大类复杂无规则的几何对象，而这是传统欧几里德几何学所不能描述的。例如，起伏不平的山脉、曲折复杂的海岸线、白衣苍狗的浮云、九曲回肠的河流、横纵交叠的血管、布满繁星的夜空等。直观地说，这些对象都是分形。它们所呈现的曲线是极不规则或极不光滑的，但我们又对它们有所判断，比如看到手绘的“山”的图画，我们不会错认为是河流，说明除了不规则之外，其中还有“规则”可循。

　　而对于“规则”的发现过程还要追溯到更早的1960年。曼德勃罗在研究棉价变化的长期形态时，发现了价格在大小尺度间的对称性。在对尼罗河水位和著名的“英国海岸线”的数学分析中，同样发现类似规律。经过大量研究之后，他发现了“大自然的秘密”——自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集，其严格定义可由相似映射给出，我们则可以通过上文中“菜花的故事”对“自相似集”进行形象的理解。曼德勃罗认为，传统欧几里德测度不能刻画这类集的本质，转向维数的研究，发现维数是尺度变换下的不变量，主张用维数来刻画这类集合。1975年，曼德勃罗第一部分形几何著作，也是20世纪突破欧几里德几何之作《分开：形状、机遇和维数》出版。分形几何建立以后，引起了许多学科的关注，因为它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。

　　“知识流浪汉”的大众科学

　　近代的数学和物理远离民众的“生活世界”，它们以理想的状态呈现，规则的点、线、面是科学家眼里理想的研究对象。然而，自然界里几乎没有理想对象，例如，地球不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，闪电也不沿着直线传播。传统科学家们“严肃冷酷，枯燥乏味”的研究工作无人理解。曼德勃罗的分形理论仿佛是科学与民众之间的一道瑰丽彩虹，让彼此两岸连接成一。

　　他的独特成就也与其人生经历密切相关。作为哈佛大学的“数学实践讲座”教授的曼德勃罗，高中毕业后，没考大学，选择了过流浪生活，他“拎着一些破旧而过时的书籍，以他自己的方式学习着，自我猜测着许多事情，做任何事均不采取理性或者半理性的方式”。自称为“知识的流浪汉”的曼德勃罗其研究方法更是独具特色，他从不追赶前沿，而喜欢收集过期刊物，从中发现未被重视的真知灼见，在故纸堆中成就创新理论，真可谓“温故而知新”的超级典范。

　　分形理论作为“科学另类”的研究成果，最初受到科学界的拒绝，之后却成为一门横断学科，广受欢迎。比如物理学中的布朗运动：在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。对于折线连成的图形，正是分形理论研究的对象，这无疑可以为研究布朗运动提供有效的计算模型。在物理学界，还将分形用于湍流和临界现象；在生物学中，分形理论被用于分析细胞生长；在经济学领域，分形则能分析股票价格走势……

　　对于普通民众，分形更以艺术的形式与他们进行形象、亲切以及美的沟通。分形视觉艺术、分形音乐成为很多计算机艺术家探索的新领域。就连年轻人的T恤衫和街边的海报上，也画满了分形图案。只要你将分形艺术输入搜索引擎，你就会看到极其瑰丽多姿，令人惊叹的美丽画面。曼德勃罗特别开心地表示，“科学不是被人保存在牛津剑桥或是常春藤学校里的，科学是给大众的。”

　　分形，如果用复杂的数学符号去解释，恐怕令很多普通人望而却步，但当我们在准备晚餐、切开菜花的时候，想想关于自然世界的美妙构造，想想沟通科学，想想自然与大众的科学家曼德勃罗的可爱性情，似乎科学也在万家灯火与诱人饭香中散发出了亲切的气息。

　　责任编辑　林京